Contenido

1. Definición de la ingeniería económica.
2. Origen de la ingeniería económica. 
3. Pioneros de la ingeniería económica. 
4. Explicación de los 7 principios de la ingeniería económica. 
5. ¿Qué estudia la Ingeniería económica?
6. Conceptos de la ingeniería económica. 
7. Interés simple. 
8. Características del interés simple. 
9. Fórmulas del interés simple. 
10. Ejemplos de ejercicios de interés simple. 
11. Videos explicativos de interés simple.
12. Interés compuesto. 
13. Características del interés compuesto. 
14. Fórmulas del interés compuesto. 
15. Ejemplos de ejercicios del interés compuesto. 
16. Videos explicativos del interés compuesto. 
17. Diferencias entre interés simple e interés compuesto. 
18. Anualidades. 
19. Gradientes. 

Generalidades de la ingeniería económica

Definición de ingeniería económica 

Ingeniería económica, tomada de google

 La ingeniería económica es la rama que se encarga de calcular los elementos monetarios, los valores que los ingenieros toman y sugieren a su labor para conseguir que una empresa sea altamente beneficiosa y competidor en el mercado económico. Por otra parte, la misión de la ingeniería económica consiste específicamente en balancear dichos convenios de la manera más económica.

Origen de la ingeniería económica 

Los planteamientos modernos de flujo de efectivo descontado y el racionamiento del capital fueron predominados por la labor de Joel Dean. Las corrientes modernas están incrementando los límites de la ingeniería económica para abarcar nuevas técnicas de análisis de riesgo, sensibilidad e intangibles. Las técnicas tradicionales han mejorado para mostrar el interés contemporáneo por la conservación de bienes y uso óptimo del fondo público (Riggs et al., 2002, p. 7).

Origen de la ingeniería, tomada de google

Pioneros de la ingeniería económica

Un precursor en este campo fue Arthur Wellington, el cual en 1887 redactó The Economic Theory of the Location of Railways. Este documento llamó la atención de la ingeniería en las valoraciones económicas. El ingeniero civil Wellington comentaba que la técnica de partición de costo capitalizado debía ser manejada para destacar las longitudes ideales para las líneas del ferrocarril (Riggs et al., 2002, p.6). pi En 1920 C. L. Fish y O. B. Goldman examinaron las inversiones en las estructuras creadas desde el punto de vista de las matemáticas actuariales. Fish creó un método de inversión que se relacionaba con el mercado de los bonos. En Financial Engineering, Goldman expuso un modelo de interés compuesto para acordar valores corporativos. En el año de 1930 Eugene Grant escribió Principles of Engineering Economy. El autor se orientó a proponer un punto de vista económico en la ingeniería, analizando la relevancia de los criterios de juicio y la valoración de la inversión a corto plazo, como también las comparaciones comunes de inversiones a largo plazo en bienes de capital basadas en cálculo de interés compuesto. Es por ello que Eugene Grant es considerado “el padre de la ingeniería económica” (Sullivan et al., 2004, p. 4).

 

Pioneros de la ingeniería industrial, tomada de google

Conceptos básicos de la ingeniería económica. 

FLUJO MONETARIO

Es el modelo de flujo circular, los pagos por los recursos productivos y por los bienes y servicios que van en dirección opuesta al flujo físico (flujo real).

 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

 Se ha dejado dicho que el dinero puede generar utilidades a una cierta tasa de interés si se invierte durante un periodo de tiempo, concepto que hace ver que es importante reconocer que un dólar recibido en alguna fecha futura, no tiene tanto valor como uno que se tenga hoy en la mano. Es esta relación entre interés y tiempo la que conduce y desarrolla el concepto de "valor del dinero en el tiempo".

 COSTO DE CAPITAL

Otra tasa de interés que con frecuencia resulta importante es el costo de capital. La suposición general relativa al costo de capital, es que todo el dinero que usa la empresa para inversiones se obtiene de todos los componentes de la capitalización global de la compañía. 

COSTO DE CAPITAL DE DEUDA

 Un primer paso para tomar una decisión sobre una tasa mínima atractiva de rendimiento, puede ser determinar la tasa de interés a la que puede pedir el préstamo. Los préstamos hipotecarios a largo plazo se pueden obtener en los bancos, en las compañías de seguros o en otros lugares en los que se acumulan cantidades sustanciales de dinero (como los países productores de petróleo). 

COSTO DE OPORTUNIDAD

Se ha visto que existen fundamentalmente dos situaciones independientes. Una es la fuente y la cantidad de dinero disponible para proyectos de inversión de capital. La otra es la de las oportunidades de inversión de que la compañía dispone. Por lo general, las dos situaciones están desequilibradas con más oportunidades de inversión que de dinero disponible. Entonces se podrán seleccionar algunas oportunidades de inversión y resto deberá rechazarse. Es evidente que se querrá asegurar que todos los proyectos elegidos sean mejores que el mejor de los proyectos rechazados. Para lograrlo, debe conocerse algo sobre la tasa de rendimiento para el mejor proyecto rechazado. El mejor proyecto rechazado es la mejor oportunidad desperdiciada y se define como costo de oportunidad. Si se pudiera predecir el costo de oportunidad para un periodo futuro (como los próximos 12 meses), esta tasa de rendimiento podría ser el punto de comparación para juzgar la aceptación o el rechazo de cualquier gasto de capital propuesto.

 INTERÉS

 Es conocido como la manifestación del valor del dinero en el tiempo, que es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la suma final acumulada. También es conocido como la tasa de renta que se paga por una suma de dinero, se expresa generalmente como el porcentaje de la suma que debe pagarse por su uso durante un periodo de tiempo establecido.

 Qué estudia la Ingeniería económica 

Ingeniería económica. Foto tomada de google

Los 7 principios de la ingeniería económica

Ingeniería económica, tomada de google

1° Principio: establecer las alternativas, las alternativas requieren identificarse y luego definirse para ser empleada en un análisis posterior.

2° principio: concentrarse en las diferencias, únicamente los desacuerdos entre datos esperados en las elecciones son de categoría para su balance y deben ser tomadas en cuenta en la toma de una decisión.

3° principio: el punto de vista debe de ser consistente, los resultados posteriores de las opciones, económicas o de otro paradigma deben de irse desplegando de una forma sólida a partir de una perspectiva determinada.

4° principio: usar una unidad de medida común, se debe utilizar un mecanismo de medida común para que el efecto sea posible y comprensible para la comparación de las otras opciones.

5° principio: tomar en cuenta todos los valores relevantes, la toma de una buena decisión necesita de uno o más razonamientos. El proceso de decisión debe considerar tanto los resultados apuntados en la unidad monetaria, como los que se dicen en alguna otra unidad de medida.

6° principio: hacer clara la incertidumbre, la indecisión es inseparable al planear los resultados posteriores de las opciones y se debe reconocer en su referente análisis y balance de los mismos.

7° principio: revisar las decisiones, la optimización de la táctica de la toma de decisiones se forma a partir de un proceso adaptativo, hasta donde sea permitido, los efectos de la opción tomada que se proyectaron al inicio deben compararse consecutivamente con los resultados reales que se hayan conseguido lograr.

Interés simple

Definición. El interés simple se calcula para pagos o cobros sobre el capital dispuesto inicialmente en todos los periodos considerados, mientras que el interés compuesto va sumando los intereses al capital para producir nuevos intereses. El interés puede ser pagado o cobrado, sobre un préstamo que paguemos o sobre un depósito que cobremos. La condición que diferencia al interés compuesto del interés simple, es que mientras en una situación de interés compuesto los intereses devengados se van sumando y produciendo nueva rentabilidad junto al capital inicial, en un modelo de interés simple solo se calculan los intereses sobre el capital inicial prestado o depositado.

Foto tomada de google

Características del interés simple

CARACTERÍSTICAS 

Las principales características del Interés Simple son:

El capital inicial se mantiene igual durante toda la operación.

El interés es el mismo para cada uno de los períodos de la operación.

La tasa de interés se aplica sobre el capital invertido o capital inicial.

 FÓRMULA 

A continuación se muestra la fórmula del interés simple:

VF = VA (1 + n * i)

VF = Valor Futuro

VA = Valor Actual

i = Tasa de interés

n = Periodo de tiempo

Podemos obtener el interés que produce un capital con la siguiente fórmula: 

I = C * i * n

Ejemplo:

Si queremos calcular el interés simple que produce un capital de 1.000.000 pesos invertido durante 5 años a una tasa del 8% anual. El interés simple se calculará de la siguiente forma:

I = 1.000.000 * 0,08 * 5 = 400.000

Si queremos calcular el mismo interés durante un periodo menor a un año (60 días), se calculará de la siguiente forma:

Periodo: 60 días = 60/360 = 0,16 I = 1.000.000 * 0,08 * 60/360 = 13.333

Fórmulas de interés simple

De la fórmula principal de interés simple se pueden despejar las incógnitas que necesitemos para resolver los ejercicios, las fórmulas son:

Foto tomada de google

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Ejemplos de ejercicios de interés simple

 

Videos explicativos de interés simple

 

Interés compuesto

Los intereses generados se van sumando periodo a periodo al capital inicial y a los intereses ya generados anteriormente. De esta forma, se crea valor no sólo sobre el capital inicial sino que los intereses generados previamente ahora se encargar también de generar nuevos intereses. Es decir, se van acumulando los intereses obtenidos para generar más intereses.

Por el contrario, el interés simple  no acumula los intereses generados. El interés puede ser pagado o cobrado, sobre un préstamo que paguemos o sobre un depósito que cobremos. La condición que diferencia al interés compuesto del interés simple, es que mientras en una situación de interés compuesto los intereses devengados se van sumando y produciendo nueva rentabilidad junto al capital inicial, en un modelo de interés simple solo se calculan los intereses sobre el capital inicial prestado o depositado.

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Características del interés compuesto

CARACTERÍSTICAS 

Las principales características del Interés Compuesto son:

El capital inicial aumenta en cada periodo debido a que los intereses se van sumando.

La tasa de interés se aplica sobre un capital que va variando.

Los intereses son cada vez mayores.

FÓRMULA

A continuación se muestra la fórmula del Interés Compuesto y sus componentes:

VA = VF (1 + i) ^n

VF = Valor Futuro

VA = Valor Actual

i = Tasa de interés

n = Periodo de tiempo

EJEMPLO 

Veamos un ejemplo sencillo de interés compuesto: Mariana coloca en un CDT la cantidad inicial de $1.000.000 a un interés compuesto mensual de 5% por 3 meses. ¿Cuánto recibirá Mariana al final de los tres meses? Lo primero que haremos será identificar los datos:

VA = 1.000.000

i = 5% (0,05)

n = 3

VF = 1.000.000 * (1 + 0,05)3 = 1.157.625

Fórmulas de interés compuesto

 De la fórmula principal de interés simple se pueden despejar las incógnitas que necesitemos para resolver los ejercicios, las fórmulas son:

La capitalización de intereses

La capitalización de intereses surge cuando los intereses no son pagados y se suman al capital inicial, lo que implica pagar intereses sobre los intereses capitalizados.

Para ilustrarlo supongamos que se hace un préstamo de $10.000.000 con un interés mensual del 2%, es decir que mensualmente se paga un interés de $200.000.

Si en un mes no se pagan los $200.000 de intereses, se suman al capital de $10.000.000, y este queda en $10.200.000, así que en el siguiente mes el interés del 2% se liquida sobre ese valor, lo que arroja la suma de $204.000.

Ejemplos del interés compuesto

 

Transformación de las tasas de interés

Transformación de tasas de interés compuestas nominales a efectivas

1. Determinar la cantidad de PERÍODOS DE PAGO hay en el PERÍODO PROPIO
2. Ese valor utilícelo para dividir la tasa de interés y el resultado es una tasa de interés compuesta efectiva en PERÍODOS DE PAGO
3. Transforme la tasa de interés compuesta efectiva vencida de un período a compuesta efectiva vencida efectiva vencida de otro período usando la fórmula de las igualdades

Transformación de tasas de interés compuestas anticipadas en vencidas

1. Se transforma la tasa de interés de anticipada en vencida
2. i vencido = i anticipado / ( 1 – i anticipado) 
3. Transforme la tasa de interés compuesta efectiva vencida de un período a compuesta efectiva vencida efectiva vencida de otro período usando la fórmula de las igualdades

Transformación de tasas de interés compuestas nominales anticipadas en efectivas vencidas

1. Se transforma la tasa de interés nominal a efectiva
2. Se transforma la tasa de interés anticipada en vencida               
3.  i vencido = i anticipado / (1–ianticipado)
4. Transforme la tasa de interés compuesta efectiva vencida de un período a compuesta efectiva vencida de otro período usando la fórmula de las igualdades
   
   
   
   

Diferencias entre el interés simple y el interés compuesto

El interés simple es aquel que no se suma al capital inicial una vez que ha vencido el plazo de la inversión o crédito.

El interés compuesto es aquel que se suma al capital inicial al término de la inversión o crédito.

La diferencia entre interés simple e interés compuesto es que el simple no es a capitalizable, mientras que el compuesto ayuda a incrementar el capital inicial

Interés simple Interés compuesto

Definición El un tipo de interés no capitalizable, no tiene impacto en el monto inicial de una inversión. Es un tipo de interés que se suma al capital al vencimiento del período, incrementando el monto inicial de la inversión

Características 

Videos explicativos del interés compuesto

 

Anualidades

¿Qué es una anualidad? 

Una anualidad es una serie de retiros, depósitos o pagos que se efectúan de forma regular, ya sea en periodos anuales, mensuales, trimestrales, semestrales o de otro tipo.

En simple, una anualidad es un ingreso o desembolso de dinero que se concreta cada determinado intervalo de tiempo, que no siempre es un año.

Lo importante es que el lapso tiempo que separa una renta de la otra es siempre el mismo.

Por ejemplo, nos podemos referir a la anualidad que se paga por un crédito hipotecario. En este caso, puede tratarse de una cuota mensual constante (amortización contable lineal) que debe cancelarse por un periodo de endeudamiento de veinte años.

Sin embargo, cabe aclarar que existe un tipo de anualidad denominada impropia o variable donde el monto de la renta no siempre es el mismo.

Elementos de las anualidades

Los elementos de las anualidades son:

• Renta: Monto retirado, depositado o pagado periódicamente.
• Periodo de pago de renta: Intervalo de tiempo que se ha establecido entre una renta y otra.
• Plazo de la anualidad: Periodo que transcurre entre la primera y la última renta.
• Tasa de la anualidad: Tipo de interés fijado para la operación, por ejemplo, como sucede en el caso de un préstamo, donde cada cuota incorporará normalmente el interés acumulado.

Tipos de anualidades

Las anualidades pueden clasificarse de distinta forma. Por ejemplo, por el momento en que deben pagarse, se pueden catalogar tal que así:

Vencida: El pago se hace al final del periodo acordado. Por ejemplo, a fin de cada mes.

Diferida: El pago se hace en un periodo posterior, previo acuerdo entre las partes involucradas. Por ejemplo, cuando los gastos efectuados con la tarjeta de crédito en el mes de junio se pueden pagar hasta el quince de julio.

Anualidad anticipada: El pago está programado al inicio del periodo, por ejemplo, al inicio del mes.

Por otro lado, de acuerdo a la certeza del pago, las anualidades pueden clasificarse como:

Cierta: Los días exactos de los pagos son establecidos en un contrato, y por un periodo predeterminado.

Eventual o contingente: El pago inicial o final se efectúa siempre y cuando se dé un hecho acordado anteriormente entre las partes involucradas. Por ejemplo, un seguro de vida que se activa cuando fallece el contratante.

Asimismo, tenemos otros tipos de anualidad. Según su duración, puede ser vitalicia (mientras viva el rentista) o temporal (por un lapso determinado de tiempo).

Igualmente, existen las anualidades simples, cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización. Por ejemplo, un alquiler que se paga cada quincena del mes.

Sin embargo, en el caso de una anualidad general, el periodo de renta no coincide con el de capitalización. Puede haber una renta por varios periodos capitalizables o varios periodos capitalizables que generan una renta. Supongamos el caso de un préstamo con capitalización trimestral, pero que genera cuotas mensuales.

EJEMPLOS DE ANUALIDADES

1.(Anualidad de imposición a interés compuesto) Con el deseo de formar un capital, un estudiante, firma un convenio con una compañía capitalizadora comprometiéndose a depositar $ 100, cada fin de trimestre durante 1 año y medio, por su parte la institución capitalizadora se compromete a cancelarle el 16%.  Se pide:

a) El capital final por la fórmula.

b) El capital final por el gráfico.

c) Elaborar el estado de depósitos.

Solución:

Datos:

Reemplazando en la fórmula:

Gráficamente tenemos:

2¿Cuál será el valor actual de 6 anualidades pagables cada fin de trimestre, de $ 200, si se aplica el 11% de interés compuesto semestral?

solución:

Datos:

Cálculo auxiliar:

Aplicando la fórmula:

3.(Anualidades de imposición variables y crecientes en razón geométrica) Con el deseo de formar un capital, un empresario, firma un convenio con una institución capitalizadora al 20% de interés anual, comprometiéndose a depositar al final de cada trimestre cuotas que irán aumentando en razón de 1,05, al final del primer trimestre deposita $US 300, durante un año y medio.  Calcular.

a) El capital final por la fórmula.

b) El capital final por el gráfico.

c) Elaborar el movimiento de fondos.

Solución:

Datos:

Cálculos auxiliares:

Aplicando la fórmula tenemos:

Gráficamente tenemos:

4.(Anualidades de imposición diferidas) Un empresario con la finalidad de formar un capital firma un convenio con una compañía capitalizadora comprometiéndose a realizar depósitos cada fin de semestre $ 800, después de un año de haber firmado el convenio y dentro los 2.5 años siguientes.  Si le reconocen el 17% de interés compuesto anual.  Calcular:

a) El capital final por la fórmula

b) Elaborar el estado de depósitos

Solución:

Datos:

Cálculos auxiliares:

Aplicando la fórmula:

5.(Anualidad de amortización constante vencida a interés compuesto) Un empresario, obtiene un préstamo de una entidad financiera por $us 35.000, comprometiéndose cancelar con pagos cada fin de semestre durante dos años y medio, si la entidad, cobre el 17.5% de interés compuesto anual, el empresario desea:

a) Conocer cuanto asciende la anualidad de amortización.

b) Tener un estado de amortización.

Solución:

Datos:

Aplicando la fórmula:

Estado de amortización:

6. Un comerciante vende televisores en $650.000, precio de contado . Para promover sus ventas idea el siguiente plan de ventas a plazos, con cargo del 4% mensual de intereses. Cuota inicial de $120.000 y el saldo en 18 abonos mensuales, ¿cuál es el valor de las mensualidades?

 

 

 

7. Una obligación debe cancelarse en cuatro años con pagos semestrales de $100.000. El deudor conviene con su acreedor en cancelar la deuda en 6 años con abonos semestrales. Hallar el valor de los nuevos pagos, si la tasa pactada es del 10% convertible semestralmente.

 

n = 8

R = 100.000

i = 10% C.S = Si E.S

 

Se calcula el valor presente:

 

8. Un empleado puede ahorrar $80.000 mensuales e invertirlos en una compañía financiera que abona el 9% CS. En cuanto tiempo juntará $5.500.000. Calcular el tiempo y el depósito final.

 

R = 80.000 i = 9%C.S = 4.5 E.S. VF = 5'500.000 n = ?

Pasando la tasa de efectiva semestral a mensual: (1+0.045) 2 = (1+i) 12 (1.045) 1/6 -1= i i = 0.00736 E.M (0.736% E.M.)

 

 

En caso de que continúe ahorrando de a 80.000 por 56 meses tendrá al final 5'519549.1. Es decir, en el mes 56 podrá depositar solamente

5'519549.1 - 5'500.000 = 19549.12

 

9. Cierta máquina puede ser comprobada con $459.000 de contado o $45.000 de cuota inicial y 18 cuotas mensuales de $28.000 c/u; calcular, a) la tasa nominal, b) la tasa efectiva.

V.Maquina = 459.000

Cuota inicial = 45.000

VP = 459.000 – 45.000 = 414.000

n = 18

R = 28.000

J=?, i = ?

 

Con     i = 0.015 => 15.673

            i = 0.02=>14.99

            i = 0.03 =>13.754

Iterando por medio de triángulos semejantes:

i = 0.0216         = 2.16 % E.M

j =25.92%C.M

VIDEOS EXPLICATIVOS DE ANUALIDADES

Video 1: Anualidades, fórmulas, conceptos y ejemplos

Video 1: ejercicios de anualidades.

Video 3: ¿Cómo identificar el tipo de anualidad?

Ejercicios propuestos de anualidades

1) El papa de un niño de 12 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar $ 250.000 en una cuenta de ahorros al final de cada mes durante los próximos 5 años. Si la tasa de interés es del 27% ACM. ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 5 años?¿Cuanto recibe por concepto de intereses?. R/. $ 31.112.608,73 y $ 16.112.608,73.

 2) ¿Cuál es el valor presente de $ 600.000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es del 20% ACT?. R/. $ 6.502.661,74.

 3) Un concesionario de automóviles ofreció a un cliente un auto nuevo mediante un pago inicial de $ 8.000.000 y 36 pagos mensuales de $ 680.000 cada uno. Si se cobra una tasa de interés del 30% CM, encuentre el valor de contado del auto. R/. $ 24.018.250,73. 

4) El señor Juan Pérez recibió tres ofertas al querer vender un apartamento, ubicado en el Barrio de Crespo. La primera consistía en $ 90.000.000 de contado. La segunda consistía en $ 30.000.000 de contado y $ 230.000 al mes durante 36 meses. La tercera era de $ 650.000 al mes durante 3,5 años. Si la tasa de interés es del 2% mensual. ¿Cuál de estas ofertas es la más ventajosa para el señor Juan Pérez?. 

5) Una persona es beneficiaria de un seguro de vida por $ 110.000.000. Ella escogió no tomar la cantidad de contado, sino recibir un ingreso mensual igual para los próximos 15 años. Si en dinero se encuentra invertido al 30% ACT, ¿Qué cantidad recibirá cada mes la persona?. 

6) Cuantos pagos quincenales de $ 391.250 deberán hacerse para cancelar deuda de $ 8.500.000, con el 24% Convertible cada quincena?. 

7) Pedro Fernández se ganó $ 60.000.000 en una lotería. Piensa depositar este dinero en una inversión en una institución financiera que le da el 28 % ACS e ir retirando $ 800.000 mensuales, con el fin un tiempo sin trabajar, hasta que el dinero se le agote. ¿Cuántos retiros podrá efectuar?. 

8) Francisco ha depositado al final de cada mes $ 350.000 en una cuenta de ahorros. Al cabo de tres años recibe un monto de 1.800.000. ¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente, ha ganado? 

9) Una familia desea empezar a ahorrar para realizar un viaje a San Andrés Isla. Se tiene realizarlo dentro de dos años. Con este fin depositan 260.000 cada mes en una en una cuenta que genera intereses a una tasa del 18%. Obtenga el monto y los intereses ganados. 

10) Una persona depositó $ 300.000 al final de cada trimestre durante 3 años. Si no realizó ningún retiro en todo ese tiempo y su banco le abonaba el 2% mensualmente. ¿Cuál es el monto de la anualidad?¿Qué tanto de esa cantidad son intereses?. 

11) Cada trimestre el señor García deposita $ 320.000 en su cuenta de ahorros, la cual gana un interés del 3,8% trimestral. Después de tres años, el señor García suspende los depósitos trimestrales y el monto obtenido en ese momento pasa a un fondo de inversión que da el 22% capitalizable cada mes. Si el dinero permaneció 2 años en el fondo de inversión, obtenga el monto final y el interés total ganado. 

12) Cristina desea comprar un automóvil nuevo dentro de 4 años y pagarlo de contado. Para cumplir su deseo decide ahorrar $ 280.000 cada mes en una 169 cuenta que le paga un interés del 30% ACS. Justo después de realizado el depósito número 36, la tasa de interés baja al 28% ACS y, debido esto Cristina decide incrementar su mensualidad a $ 310.000. Obtenga el monto al cabo de 4 años. 

13) El señor Pantoja queda incapacitado de por vida a consecuencia de un accidente laboral. La empresa donde labora le concede una indemnización de $ 450.000.000, con lo cual desea asegurarse una renta mensual para los próximos 20 años. Si el señor Pantoja puede invertir su dinero al 28%. a) ¿Cuál será su renta mensual si desea conservar intacto su capital? b) ¿Cuál será su renta mensual si el capital se agotará a los 20 años?

 14) Una empresa deberá saldar una deuda con valor de vencimiento por $ 10.000.000, después de transcurridos 4 años. Para pagar esta deuda se decidió crear un fondo con depósitos mensuales iguales y una tasa de interés del 24% CM. ¿Qué cantidad se tiene acumulada al cabo de 2,5 años?. 

15) Una deuda debe cancelarse en dos años mediantes pagos de $ 420.000 cada bimestre. El deudor acuerda con su acreedor en reestructurar la deuda, liquidándola en tres y medio años, con pagos mensuales iguales. Encuentre el valor de los nuevos pagos, si la tasa de interés es del 26% ACM.

 16) Hace 10 meses una persona compró una lavadora a crédito, a un plazo de año y medio, dando abonos mensuales iguales y pagando un interés de del 32% ACM. El precio de contado de la lavadora era de $ 1.200.000. En este momento el comprador acaba de recibir cierta cantidad de dinero y desea saldar su deuda. ¿Qué cantidad deberá pagar?

 17) Un aparato de rayos X se compró a crédito, sin cuota inicial, pagando $ 550.000 bimestrales durante los tres primeros años y $ 700.000 mensuales durante el cuarto año. Si la tasa de interés es del 28% ACBimestralmente en los tres primeros años y del 25% ACM para el cuarto año, encuentre el precio de contado del aparato de rayos X.

 18) Pedro tiene actualmente 30 años y piensa jubilarse a los 62. La empresa donde labora acaba de establecer un fondo de jubilación para sus empleados. Pedro deberá depositar cantidades iguales cada quincena durante los próximos 32 años, de tal manera que al momento de jubilarse tenga un monto tal que le permita efectuar retiros mensuales de $ 1.000.000 durante 20 años. Depreciando el efecto inflacionario, ¿Qué cantidad debe abonar al fondo si este paga una tasa de interés del 2,5% mensual. 

19) En una fábrica se necesitará reponer un equipo dentro de 10 años y la administración de la empresa decide establecer un fondo. El equipo cuesta actualmente $ 10.500.000. Tomando en cuenta una tasa de inflación del 5% anual, ¿Cuánto se tiene que depositar cada mes en una cuenta que paga un 1,5% mensual. ¿Cuánto interés ganará la cuenta?. 

20) Un documento estipula pagos trimestrales de $ 120.000, durante 5 años. Si este documento se cancela con un solo pago al principio o con un solo pago al final determinar el valor del pago en cada caso suponiendo una tasa del 30% NT. R/. VP = $ 1.223.338,96; VF= $ 5.196.561,76. 

21) Un documento ofrece pagos trimestrales de $ 30.000, iniciando el primer pago el 20 de abril de 1995 y terminando el 20 de abril de 2006. Si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de $X comenzando el 20 de abril de 1997 y terminando el 20 de octubre de 2001. Hallar el valor de la cuota, suponga una tasa del 24% NT. R/. $ 66.232,28 170 

22) Una deuda de $ 1.500.000 va a ser cancelada en pagos trimestrales de $ 120.000 durante tanto tiempo como fuere necesario. Suponiendo una tasa del 24% NT. A) Cuántos pagos de $ 120.000 deben hacerse?. B) Con qué pago final hecho 3 meses después del último pago de $ 120.000 cancelará la deuda?. R/. a) 23,79 pagos, b) $ 95.532,68. 

23) Si realizo 5 depósitos mensuales iguales de $ 90.000 cada uno empezando dentro de un mes y, un mes después de realizado el último deposito de $ 90.000 retiro $ 30.000 cada mes, durante 8 meses, encontrar el saldo después de realizado el último retiro, si el interés es del 2,2% mensual. R/. $ 300.347. 

24) Un equipo de sonido oficina al contado $ 1.500.000, pero puede ser cancelado en 36 cuotas mensuales de $ 75.000 efectuándose la primera el día de la venta. ¿Qué tasa periódica mensual se está cobrando?. R/. 3,87% mensual. 

25) Para la compra de un computador que vale $ 6.000.000; se exige una cuota inicial del 40% y el resto se cancela en 36 cuotas mensuales, ¿a cuánto ascenderá la cuota, si los intereses son el 3,5% efectivo mensual?. R/. $ 177.422,99

 26) Un televisor con valor de contado de $ 900.000 se compra dando de cuota inicial el 40% y el resto en 12 cuotas mensuales iguales, pagándose la primera un mes después de cancelada la cuota inicial. Encontrar el valor de las cuotas mensuales si el interés de financiación es del 2,8% mensual. R/. $ 53.603,88. 

27) Si en el problema 25, se ofrecen dos cuotas extraordinarias: la primera de $ 350.000 en el mes 5, y la segunda de $ 500.000, en el mes 18, ¿Cuál será el valor de la cuota ordinaria?. R/. 149.633,07 

28) Los dineros de un contrato de arrendamiento por un año, que empieza hoy, con canon de $ 300.000 mensuales anticipados, los deposito en una corporación que ofrece el 2,5% mensual. A) Hallar el acumulado obtenido, seis meses después de vencido el contrato. B) Si el arrendatario quisiera pagar hoy el total de dicho contrato, y se le reconociera el 2,5% mensual por pronto pago. ¿Cuánto debe cancelar hoy? R/ a) $ 4.919.574 y b) $ 3.154.262. 

29) Un artículo se compró a plazos pagando 7 cuotas mensuales iguales de $ 80.000 y un interés de financiación del 3% mensual, si la primera cuota se pagó cinco meses después de entregado el artículo, encontrar el valor de contado. R/. $ 442.842. 

30) Una deuda de $ 100.000, en cuánto meses se cancela, si se realizan pagos mensuales iguales de $ 8.000 y el interés de financiación es del 2,6% mensual. ¿Cuál es el valor de el último pago, si la debe pagarse en períodos completos. R/ 15,31 meses y $ 2.523,7. 

31) Si depositamos hoy $ 365.062,86 en una corporación que ofrece el 3% mensual. ¿Durante cuántos meses, empezando dentro de 9 meses, se podrán hacer retiros mensuales de $ 30.000?. R/. 21 meses. 

32) Una institución financiera presta $ 800.000 al 2,5% mensual para ser cancelados con 24 cuotas mensuales iguales. Si una vez cancelada la cuota 10 hago un abono de $ 202.215,44. A) Encontrar el valor de las cuotas sin tener en cuenta el abono. B) ¿En cuánto disminuye la cuota con el abono, si el plazo del préstamo sigue siendo igual. C) ¿En cuánto tiempo disminuye el plazo después del abono si el valor de la cuota sigue igual?. R/. a) $ 44.730,26, b) $ 17.296,81 y c) 8 meses.

 33) Al comprar un computador, se quedaron debiendo $ 1.200.000, para ser cancelado en 4 cuotas trimestrales, empezando dentro de 6 meses. Hallar el 171 valor de las cuotas si el interés de financiación es del 0,75% quincenal. R/. 350.527. 

34) Una deuda se debe cancelar con 24 cuotas trimestrales iguales y un interés del 36% NM. Si una vez cancelada la cuota 15 se solicita refinanciar el saldo existente en dicho momento para cancelarlo con 12 cuotas mensuales iguales y al mismo interés, si se sabe que el valor de las nuevas cuotas es de $ 20.000. Encontrar el valor del préstamo inicial. ¿Cuál fue el saldo a financiar?. R/. $ 318.982,59 y $ 199.080. 

35) Una deuda de $ 1.000.000 se conviene en pagarla en 30 meses, con un interés del 32% anual compuesto continuamente de la siguiente forma: El 60% de la deuda es equivalente a cancelar 15 cuotas bimestrales iguales vencidas y el 40% restante es equivalente a pagar 5 cuotas semestrales iguales vencidas. Encontrar el valor de las dos clases de cuotas. R/. $ 59.688 y $ 126.035,95. 

36) Ahorro $ 10.000 mensualmente empezando hoy y haciéndolo en 25 oportunidades en una institución financiera que reconoce el 2% mensual para los primeros 7 meses, el 2,1% mensual del mes 7 al 20 y de allí en adelante el 1,9% mensual. Encontrar el acumulado 5 meses después de realizado el último depósito. Encontrar también el valor presente hoy bajo esas condiciones de dichos depósitos. R/. 353.402,2 y $ 198.228,3. 

37) Un préstamo de $ 2.000.000 se debe cancelar con 30 cuotas bimestrales iguales y un interés de financiación del 2,9% mensual. Si una vez cancelada la novena cuota se abonan $ 400.000. Encontrar el valor de la nueva cuota bimestral, si el plazo permanece constante. ¿En cuánto tiempo disminuye el plazo si el valor de la cuota permanece constante?. R/. $ 109.829,37 y 7,6 bimestres. 

38) Si obtengo hoy un crédito de $ 4.000.000 al 24,48% NT para cancelarlo con 48 cuotas mensuales iguales y espero hacer abonos semestrales de $ 50.000 empezando un año y medio después de concedido el préstamo y durante 5 semestres, ¿En cuánto se rebaja la cuota a partir del mes 19 si lo abonado en cada semestre se utiliza para disminuir el valor de las cuotas mensuales durante el respectivo semestre?. R/ $ 8.926,29. 

39) Tengo una deuda de $ 10.000.000 adquirida al 6% bimestral y la cual debo pagar con 24 cuotas trimestrales iguales y vencidas, pero poseo dos bienes A y B que puedo arrendar desde hoy. Si espero que el arriendo del bien A me dé el 60% del valor de la cuota y el bien B lo restante, ¿cuál debe ser el valor del arriendo mensual anticipado de cada bien, de tal manera que se paguen las cuotas, si los dineros obtenidos los deposito en una corporación que reconoce el 1,5% mensual?. R/. A = $ 196.389,86 y B = $ 130.926,57. 

40) Una deuda de $ 17.000.000 se debe cancelar en 5 años con 60 cuotas mensuales iguales y además cada 6 meses se deben pagar cuotas extras iguales equivalentes al 120% de la correspondiente cuota mensual. Si para los primeros 3 años opera un interés del 27,54% NSA y de allí en adelante el 37,09% NTV, encontrar el valor de las cuotas mensuales y semestrales. R/. $ 469.156,86 y $ 562.988,2. 

41) Al comprar un artículo se quedan debiendo $ 3.000.000, para cancelar en 5 años con cuotas mensuales iguales en el primer año; cuotas bimestrales iguales durante los 2 años siguientes y con cuotas trimestrales iguales para los dos últimos años. Si las cuotas bimestrales son el 10% más que las cuotas mensuales y las cuotas trimestrales son $ 700 más que las cuotas bimestrales, halle el valor de las cuotas a pagar para un interés de financiación del 9,52% 172 tetramensual?. R. mensual: $ 143.851,6 ; bimestral = $ 158.236 y trimestral = $ 158.936.

 42) De un artículo financian el 60% del valor de contado que se debe pagar en 48 cuotas mensuales iguales. Si se sabe que una vez cancelada la cuota 20 se abonaron $ 300.000 y el saldo existente en dicho momento se canceló con 5 cuotas semestrales de $ 90.000, halle el valor de contado del artículo, si el interés de financiación es del 2% mensual. R/. $ 1.488.252.

 43) El Banco Ganadero le concede un préstamo de $10.000.000 a una tasa del 36% trimestre vencido. Usted consigue un período de gracia de un año, durante el cual, el banco le cobra el 2.5% mensual de intereses y los intereses no se pagan, sino que se capitalizan. El préstamo tiene un plazo de 3 años, incluido el período de gracia, y se va a cancelar en cuotas trimestrales iguales. Calcule el valor de cada cuota. R/. Cuota: $ 2.429.869.52. 

44) Un electrodoméstico se financia de la siguiente forma: una cuota inicial de $400.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 85.000, pagaderas en forma anticipada. Si la tasa de interés que le cobran es del 3.5% mensual, ¿cuál es el valor del electrodoméstico? R/. $ 1.250.131.83 

45) Un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 3.000.000, lo compro financiado de la siguiente forma: cuota inicial de $ 250.000 y cuotas mensuales de $ 194.125,16 pagaderas en forma anticipada. Si le cobran una tasa de interés del 3% mensual, ¿En cuánto tiempo termina de cancelar el electrodoméstico, R/. 18 meses. 

46) Financiar $ 10.000.000 a tres años en cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 8 meses y dos pagos adicionales por valor de $1.500.000 cada uno en los meses 15 y 26, sabiendo que la tasa de interés es del 30% anual durante el primer año y del 35% anual de ahí en adelante. R/. Cuota: $457.682.

 47) Con el fin de reunir $15.000.000 para dentro de 5 años, se abre una cuenta de ahorros con un depósito inicial de $1.300.000 y luego depósitos mensuales iguales durante los cinco años. Si al cabo de dos años se debe retirar de la cuenta la suma de $2.000.000, hallar el valor de los depósitos mensuales para que a los cinco años se tenga la cantidad deseada, sabiendo que la cuenta de ahorros paga el 3% mensual durante los dos primeros años y el 3.8% mensual en lao tres años siguientes. R/. Cuota = $ 60.788.

 48) Una industria vende toda su producción y si pudiera producir más vendería más, por tal motivo le ha solicitado al banco de donde él es cliente que le preste $8 millones para ser cancelado en 20 pagos trimestrales de $A c/u, pero también solicita que le permitan efectuar el primer pago exactamente al año de que se le conceda el préstamo, está solicitud la hace debido a que con el dinero del préstamo va a comprar en el exterior la maquinaria necesaria para la importación, nacionalización, transporte, período de montaje y pruebas hasta dejarla en su punto para la producción. Calcular $A con una tasa del 36% ACT. R/. Cuota: $ 1.134.926.90.

 49) El testamento del señor Pérez, conocido filántropo, establece que deberá pagarse al asilo de ancianos María Auxiliadora, una renta perpetua de $250,000, pagaderos al final de cada año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que se encuentra invertido a 12.64% de interés efectivo anual? R/. $ 1.977.848. 173 

50) Una entidad estatal puede usar el edificio A que requiere $5 millones cada año como costo de mantenimiento y $6 millones cada 5 años para reparaciones o, puede usar el edificio B que requiere $5.1 millones cada año como costo de funcionamiento y $1 millón cada 2 años para reparaciones. Suponiendo una tasa del 30% efectivo anual y que el edificio que se ocupe será por tiempo indefinido, ¿Cuál de los dos edificios le resulta más conveniente utilizar? R/. Costo Edificio A = $18.878.297.64 ; Costo Edificio B = $18.449.275.36. Mejor edificio B. 

51) Una obligación se ha pactado cancelar de la siguiente forma: una cuota inicial equivalente al 20% y dos pagos en los meses 6 y 12 de $ 5.000.000 y $ 10.000.000 respectivamente, con una tasa de interés del 3% mensual. Transcurridos 8 meses se resuelve cancelar el saldo en 12 cuotas mensuales iguales a una tasa de interés del 3,2% mensual. Calcular los nuevos pagos. R/. $ 903.370,34. 

52) Un terreno que de contado vale $ 25.000.000 se va a financiar de la siguiente forma: cuota inicial igual al 8%, 36 cuotas mensuales iguales anticipadas, y una cuota extraordinaria al final del mes 18 de $ 2.500.000. Si la tasa de interés que le cobran es del 26% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas. R/. $ 840.006,55. 

53) Determinar el valor de contado de un activo que financiado se puede adquirir así: cuota inicial del 20% del valor de contado y 24 cuotas mensuales de $ 800.000, más una cuota extraordinaria de $ 2.000.000 en el mes 6. La tasa de interés es del 30% capitalizable mensualmente. R/. $ 5.707.493,27. 

54) El Banco Bogotá concede un préstamo de $ 10.000.000 a una tasa de 36% NTV. Otorga un período de gracia de un año y no cobra los intereses, durante el cual cobra el 2,5% mensual. El préstamo tiene un plazo de 3 años, incluido el período de gracia, y se va a cancelar en cuotas trimestrales iguales. Calcule el valor de cada cuota. R/. $ 2.429.869,52. 

55) Una entidad financiera concede un crédito de a tres años a un cliente por valor de $ 50.000.000 con las siguientes condiciones: período de gracia de 6 meses, cuotas mensuales iguales, tasa de interés del 34% capitalizable mensualmente y durante el período de gracia se cancelarán los intereses. Calcular las cuotas mensuales. R/. $ 2.899.617,72. 

56) Un electrodoméstico que tiene un precio de contado de $ 5.000.000, se financia de la siguiente manera: cuota inicial del 30% y 36 cuotas mensuales iguales de $ 160.313,28. Sí solo se pueden pagar $ 150.000 mensuales, hallar el número de cuotas enteras necesarias para cancelar la deuda. La tasa de interés aplicada es del 3% mensual. R/. 41 cuotas. 

57) Una obligación que inicialmente se había pactado cancelar con un pago de $ 2.000.000 dentro de 8 meses y otro pago por $ 3.250.000 para dentro de 16 meses, se conviene en pagar con 12 cuotas trimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 3% mensual, calcular el valor de las trimestrales. R/. $ 510.182,96. 

58) Un vehículo se está financiando con 36 cuotas mensuales de $ 800.000. Faltando el pago de 12 cuotas se resuelve cancelar el saldo con un solo pago, 6 meses más tarde. Calcular el valor de ese pago, si la tasa de interés es del 32% capitalizable mensualmente. R/. $ 9.513.651,26. 

59) Al comprar mercancías se quedan debiendo $ 12.000.000, para cancelarlas en 3 años, por cuotas mensuales iguales el primes año, cuotas bimestrales iguales durante el segundo año y con cuotas trimestrales iguales en el tercer año. Si las cuotas bimestrales son el doble de las cuotas mensuales, y las cuotas 174 trimestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales, calcular el valor de las cuotas, sí la tasa de financiación es del 2% mensual. R/. mensuales: $ 613.882,65; bimestrales: $ 1.227.765,30; trimestrales: $ 204.627,55.

 60) Se hacen depósitos de $ 200.000 cada fin de mes, durante 24 meses, a una tasa del 2% mensual. ¿A qué tasa de interés se deben colocar igual número de depósitos, del mismo valor, en forma anticipada, para tener el mismo valor acumulado. R/. 1,8495% mensual.

Lol