Gradientes

 ¿Qué es un gradiente? 

En matemáticas  financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:

Si la cantidad es constante el gradiente es aritmetico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).

Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)

La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios:

Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota.

Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado.

Gradientes diferidos

Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia.

Gradientes anticipados 

Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradie

el momento de valoración es el período de anticipacón. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).

 Gradiente uniforme

La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto.

El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son:

Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. Sí lo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja:

Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable.

Anualidades perpetuas o costo capitalizado

Son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.

Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses.

Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:

Ingresando la variable C dentro del paréntesis, nos queda:

El término cuando n es muy grande hace tender su valor a cero por lo tanto el valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, la calculamos con la fórmula de la serie infinita:

Fórmula o ecuación de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de interés periódica y la cuota.

Las perpetuidades permiten calcular rápidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, (C) es el rendimiento periódico e (I) la tasa de interés para cada periodo. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras públicas, carreteras, presas, valuación de acciones, etc.

Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después de efectuar el pago anual.

 Gradiente geométrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E.

Valor actual de un gradiente en escalera

Devuelve el valor actual de un gradiente en escalera, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

Valor futuro de gradientes

A partir del VA actual obtenido con las fórmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo.

El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización, para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado.

 Valor futuro de un gradiente en escalera

Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variación y vuelve a presentarse la  de pagos iguales.

El cálculo del VF de un gradiente en escalera, creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes también son de capitalización.

Pago de un gradiente

Es el primer pago de una serie con gradiente aritmético o geométrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortización y capitalización.

En los problemas de amortización, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultáneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operación.

Al confeccionar las tablas de amortización, en los problemas de capitalización, como partimos de un valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no utilizamos el valor inicial.

 Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de amortización. Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el valor de la primera cuota de un gradiente en escalera, creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. 

Tasa periódica de un gradiente

Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la tasa de interés por período de un gradiente. Aplicable para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes y casos de amortización o de capitalización.

EJEMPLOS DE GRADIENTES

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Video explicativo de tres horas  con la solución paso a paso de 32 ejercicios  en los cuales se empiezan a resolver de menor a mayor complejidad 

pdf con 120 ejercicios resueltos de gradientes

https://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1406/gradientes.pdf

Ejercicios propuestos para repasar 

1) Hallar el valor de contado de un artículo adquirido con el siguiente plan: cuota inicial de $ 130.000 y 20 cuotas mensuales; $ 15.500 es el valor de la primera, $ 15.700 la segunda, $ 15.900 la tercera y así sucesivamente, sabiendo que la tasa de interés sobre saldo es del 30% NM. R/.$ 398.702. 

2) Usted va a depositar dentro de 6 meses $50.000, dentro de 9 meses $100.000, dentro de 1 año $150.000, y así sucesivamente hasta que hace el último depósito dentro de 4 años. ¿Cuánto tendrá en ese entonces acumulado, si los depósitos ganan un interés del 8% trimestral? R/. $ 8.952.676,90.

 3) Para una serie de pagos de $ 5.000 cada mes durante el primer año, de $ 6.000 cada mes durante el segundo año, de $ 7.000 cada mes durante el tercer año y así sucesivamente y por espacio de 10 años. Calcular el valor presente teniendo en cuenta que la tasa de interés aplicada es del 3% mensual. R/. $ 228.298. 

4) 10 estudiantes recién ingresados piensan asociarse y crear un fondo de ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus 5 años de estudio posean un capital de $10'000.000 con el propósito de fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad financiera les ofrece un interés mensual del 2.5%. ¿Cuánto deberá ser el ahorro mensual inicial de cada uno de los estudiantes? R/. $ 4.469,24.

 5) Una serie de pagos mensuales se inicia hoy con un pago de $ 5.000 y aumentará en una cantidad fija de dinero hasta llegar a $ 11.000 dentro de doce meses; a partir de allí disminuirá en otra suma fija de dinero hasta llegar a $ 7.400 diez meses más tarde. Para una tasa de interés del 32% anual, hallar el valor presente de esta serie. R/. $ 149.792. 

6) Usted es un inversionista que tiene una tasa de oportunidad del 33% anual y en este momento necesita $ 15.000.000, los cuales puede obtener de una institución bancaria en las siguientes condiciones: tiempo del crédito 3 años, amortización en cuotas trimestrales iguales y tasa de interés del 36% NTA, pagando los intereses al principio de cada trimestre. ¿A cuánto le equivale a usted hoy lo que se le pagará al banco a lo largo de los tres años?. R/.16.623.900. 

7) Un obrero está ganando un salario mensual de $ 96.000 y decide ahorrar en una corporación que paga un interés del 29% NT, cantidades así: el primes la mitad del salario, el segundo mes la cuarta parte del salario, el tercer mes la octava parte del salario y así sucesivamente por espacio de dos años. Hallar la cantidad que tendrá acumulada al final de este tiempo. R/. $ 160.440. 

8) Financiar $ 6 millones de hoy, a tres años con cuotas mensuales que aumenten en el 3% cada mes hasta el final del segundo año y de allí en adelante permanezcan constantes. La tasa de interés será del 2,5% mensual durante los dos primeros años y del 36% anual de allí en adelante. R/. $ 167.123 la primera cuota. 

9) Una serie a término indefinido de pagos por trimestre vencido de $ 10.000, $ 10.500, $ 11.000 y así sucesivamente, desea sustituirse por otra equivalente y también a término indefinido, de pagos mensuales que aumenten en el 1% cada mes. Hallar el valor de esta nueva serie de pagos, si para ambas series se utiliza una tasa del 8% trimestral. R./ Primer pago $ 3.250. 

10) Un proyecto consiste en invertir $3'000.000 para recibir 1 año después $2'125.000, 2 años más tarde $1'750.000 y 3 años después $1'375.000. Si en el 214 momento de invertir los $3'000.000 el índice de precios al consumidor es 600, un año después 750, dos años después 937,5 y tres años más tarde 1.171,875, cuál será la rentabilidad del proyecto en pesos corrientes y en pesos constantes? R/. Pesos corientes: i= 37,5% ; Pesos constantes: i = 10%.

 11) Determinar el valor de contado de un activo, si financiado se adquiere así: una cuota inicial de $ 450.000, dieciocho cuotas mensuales iguales de $ 40.000 cada una, y luego cuotas trimestrales de $ 150.000 la primera, $ 160.000 la segunda, $ 170.000 la tercera y así sucesivamente hasta finales del cuarto año; finalmente, seis meses después de la última de estas cuotas trimestrales, un pago equivalente al 15% del valor de contado. La tasa de interés es del 36% anual. R./$ 1.888.380 

12) Financiar una deuda de $ 8.000.000 de hoy, , en 36 cuotas mensuales sabiendo que la primera debe pagarse dentro de 6 meses y de allí en adelante las cuotas aumentarán en el 3% cada mes hasta la vigésima cuota, y a partir de ese momento las cuotas permanecerán constantes. La tasa de interés sobre saldo será del 3% mensual durante los 6 primeros meses y del 4% mensual de allí en adelante. R/. $ Primera cuota: $ 341.494. 

13) Debe reunirse la suma de $ 10.000.000 para dentro de 4 años y con tal fin se harán depósitos mensuales tales que cada uno sea igual a la mitad del anterior durante el primer año. Si estos mismos depósitos se repiten en cada uno de los tres años siguientes, determinar el valor del primer depósito de cada año, suponiendo una tasa de interés del 30% anual. R/. $ 649.283.

 14) Sustituir una obligación que consta de tres pagarés así: $ 2.000.000 para dentro de tres meses; $ 2.850.000 para dentro de 8 meses y $ 3.200.000 para dentro de un año y medio, todos con un interés del 32% NMV, por su equivalente en cuotas mensuales que disminuyan en el 5% cada mes, debiendo pagarse la primera dentro de 6 meses y la última dentro de 28 meses, sabiendo que para este caso se cobrará un interés del 3,3% mensual. R/. $ 702.728 la primera cuota. 

15) Un empleado decide ahorrar la quinta parte de su salario mensual, en una cuenta de ahorros que paga un interés del 33% NT. El empleado tiene en la actualidad un salario de $ 335.000 mensuales y le será aumentado en el 22% cada año. Hallar la cantidad que tendrá ahorrada al cabo de doce años. R/. $ 207.650.000. 

16) Determinar el valor de contado de un electrodoméstico si financiado se adquiere con el siguiente plan: una cuota inicial equivalente al 40% del valor de contado y el resto en 24 cuotas mensuales de $ 8.000, $ 7.900, $ 7.800 y así sucesivamente, sabiendo además que la primera cuota se debe pagar dentro de dos meses; y por último, después de estas cuotas, doce pagos mensuales de $ 2.000 cada uno. La tasa de interés sobre saldo es del 30% NT. R/. $ 222.800.

 17) Un artículo se compraría a crédito mediante cuotas mensuales iguales variables durante cinco años; $ 2.500 es el valor de la primera cuota y de allí en adelante aumentarían en el 2% cada mes, hasta finales del tercer año y a partir de esa fecha aumentarían en el 3% cada mes. Se desea pagar mediante dos pagos iguales, el primero hoy y el otro dentro de 3 años. Determinar el valor de cada uno de estos pagos si la tasa de interés es del 3% mensual. R/. $ 85.830. 

18) Un empleado abre una cuenta de ahorros hoy con $ 25.000 y dentro de un año empieza a hacer depósitos trimestrales de $ 40, $ 80, $ 160, $ 320, y así sucesivamente. Si la cuenta de ahorros paga el 28% NT, hallar la cantidad 215 acumulada que el empleado tendrá en su cuenta dentro de seis años, sabiendo además que durante los dos últimos años el empleado retiró $ 40.000 cada trimestre. R/. $ 89.916.000. 

19) Un profesional recién egresado de la universidad se vincula a una empresa donde empieza devengando un salario de $ 1.150.000 mensuales el primer año, la empresa le garantiza un aumento cada año del 24% y este empleado decide ahorrar cada mes la décima parte de su salario mensual en una institución bancaria que promete pagarle el 2,5% mensual durante los cinco primeros años y el 3,2% mensual de allí en adelante ¿Cuánto tendrá ahorrado este profesional al cabo de diez años?. R/. $ 228.332.100. 

20) Una empresa produce 200 unidades de un artículo al mes. El precio por unidad es de $ 12.500 el primer año, de $ 13.000 en el segundo año, de $ 13.500 en el tercer años y así sucesivamente. El costo por unidad del artículo es de $ 8.000, y la empresa invierte mensualmente la cuarta parte de las utilidades en una institución que paga el 30% anual durante los cuatro primeros años y el 31,5% AMV de allí en adelante. ¿Cuánto tendrá ahorrado la empresa al cabo de nueve años?. R/. $ 152.350.000.

 21) Financiar una deuda de $ 5.000.000 de hoy a cuatro años con cuotas que aumenten en el 3% cada mes durante los dos primeros años y luego disminuyan en el 2% cada mes, suponiendo una tasa de interés para el préstamo del 33% NMV. R/. $ 130.079 la primera cuota. 

22) Una fábrica tiene costos fijos de $ 600.000 mensuales y costos variables de $ 150 por unidad. Durante los primeros 6 meses no hay producción porque este tiempo se dedicará a pruebas y ajustes. En el mes 7 se iniciará la producción con 300 unidades y cada mes la producción aumentará en 200 unidades hasta llegar al tope de 2.500 al mes. Si se espera vender la fábrica al final de 3 años, calcular el costo total de la producción en estos 3 años en pesos de hoy, suponga una tasa del 3% efectivo mensual. R/. $ 17.791.600. 

23) Una fábrica debe importar 80 toneladas mensuales de materia prima pagándola al principio de cada mes en dólares de Estados Unidos a razón de 200 US$ la tonelada. Según la experiencia se observa que el peso se devalúa a razón del 2,5% mensual con relación al dólar. Si el cambio actual es de 1 US$ = $ 400 hallar el valor total de las importaciones de la fábrica en el transcurso de un año; a) en pesos de principio de año y b) en pesos de final del año. Suponga que la fábrica trabaja con una tasa del 3% efectivo anual. R/. $ 74.782.334 y $ 106.621.727.

 24) Una máquina produce una utilidad de un millón de pesos durante el primer año, sin embargo, la utilidad de la máquina disminuye $ 35.000 cada año debido al desgaste. Calcular en pesos de hoy el total de las ganancias suponiendo que la máquina va a trabajar por 10 años. La tasa de interés es del 30% EA. R/. $ 2.815.488. 

25) Se ofrece la administración de un restaurante durante un año y se garantiza que comprarán exactamente 6.000 almuerzos mensuales durante ese año, los cuales serán pagaderos en un solo contado a razón de $ 500 cada uno, pero su valor total será cancelado al final del año sin intereses, la persona calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $ 200 los cuales deberán ser adquiridos y pagados al principio de cada mes y su valor aumentará cada mes un 5%. El costo mensual de mano de obra se considera estable en $ 250.000 y además, se requerirá una inversión inicial de $ 1.000.000 para la adecuación del 216 restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular cuál será el valor de su ganancia: a) en pesos de hoy y b) en pesos futuros. R/. $ 5.719.285 y $ 8.154.333.

 26) Una entidad financiera presta a un cliente $ 3.000.000, con un interés del 34% NMV. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $ 10.000 y vence al final del primer mes, ¿Cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?. R/. J= 3,47% mensual. 

27) Una máquina se compró a plazos financiándose el 70% de su valor de contado, saldo que se canceló con 20 pagos de $ 100.000 el primero, 8 meses después de entregada la cuota inicial, y las demás cuotas aumentadas en $ 50 respecto de la cuota anterior. Sí para los primeros 12 meses se cobró el 1,75% mensual y de allí en adelante el 2% mensual, Encontrar el valor de contado de la máquina. R/. $ 2.100.581. 

28) Si de mi sueldo de $ 400.000 espero ahorrar dentro de 9 meses el 60% y mes a mes disminuirá el ahorro en $ 5.000 hasta el mes 24, ¿Cuánto acumularé 6 meses después de realizado el último depósito, si a la cuenta le reconocen un interés del 1,5% mensual, de hoy hasta el mes 15 y de allí en adelante el 1,75% mensual?. R/. $ 4.128.842,65. 

29) Una camioneta tiene un valor de contado de $ 15.000.000. Financian el 70% de su valor para ser cancelado con 36 cuotas mensuales de tal manera que el valor de la primera cuota sea cierta cantidad que mes a mes crece en $ 20.000. Si el interés de financiación es el 24,48% ASA: a) Diga cuánto habrá abonado a capital una vez cancelada la cuota 23, y cuánto está debiendo en ese momento, b) Si una vez cancelada la cuota 23 solicita refinanciar el saldo existente para pagarlo en 10 cuotas de principio de mes, de tal manera que cada cuota sea $ 5.000 menos que la cuota anterior, encontrar el valor de la última cuota en esta refinanciación, si el interés es del 2,4% mensual. R/. Primera cuota: A= $ 121.786,70, Total abonado mes 23: $ 9.528.481,62; Deuda mes 23: $ 7.791.992,88, Ultima cuota: $ 841.473.

 30) ¿Cuánto se debe consignar hoy en una corporación que nos paga un interés del 3% mensual, para atender una serie de gastos a perpetuidad si empezando dentro de dos meses y con un valor de $ 3.000 se incrementa mes a mes en la misma cantidad?. R/ $ 3.333.333,33. 

31) ¿Qué interés nominal MA le reconocen a un depósito de $ 800.000 realizado hoy, si se pueden hacer retiros de $ 500 dentro de 2 meses, dentro de 3 meses $ 1.000 y así sucesivamente de manera perpetua. R/. 29,268% Nominal MA. 

32) Un préstamo de $ 5.000.000 se debe cancelar en 3 años así: doce cuotas mensuales en el primer año, la cuota trece es la cuota 12 disminuida en $ 500 y así sucesivamente irán disminuyendo en la misma cantidad hasta el mes 24. La cuota 25 es la cuota aumentada en $ 300 y así seguirá aumentando en $ 300 hasta el mes 36. Encontrar el valor de la última cuota si el interés es del 1,8% mensual. R/. $ 189.741,5. 

33) Un producto de contado vale $ 800.000. A plazos financian el 70% del valor de contado el cual se debe pagar así: 10 cuotas mensuales, la primera de $ 30.000, la segunda de $ 32.000 y así sucesivamente. Si la primera cuota se paga 4 meses después de entregada la cuota inicial y además se pagan dos cuotas extras iguales en los meses 9 y 18, hallar el valor de estas cuotas extras si el interés de financiación es del 2,3% mensual. R/. $ 162.913. 217 

34) Un préstamo se debe cancelar con 12 cuotas mensuales así: la primera es de cierto valor, que mes a mes se incrementa en cierta cantidad constante; si se sabe que el valor de la cuota 6 es de $ 33.500 y el valor de la cuota 12 es de $ 53.500, encontrar el valor de la primera y segunda cuota al igual que el valor del préstamo si el interés de financiación es del 2% mensual. R/. $ Primera cuota: $ 16.833,33; segunda cuota: $ 20.166,66; valor préstamo: $ 363.588,54. 

35) Un préstamo que solicito lo conceden bajo estas condiciones: dentro de un mes recibo cierta cantidad que mes a mes decrecerá en una cantidad constante de tal manera que en el mes 16 lo recibido es cero. En el mes 17 empiezo a pagar la deuda con $ 70.000 y mes a mes incremento la cuota en $ 500 hasta el mes 35. Del mes 36 al mes 45 pago cuotas mensuales iguales a las del mes 35 y termino. Si el interés de financiación es del 1,5% mensual, encontrar el valor que recibí en el mes 1 y hallar el valor del préstamo. R/. $ 189.331,18 y $ 1.3914.128.

 36) Un artículo de contado vale $ 700.000, a plazos exigen de cuota inicial $ 100.000 y el resto para ser cancelados con 9 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota decrezca en $ 300 respecto de la anterior. Si el interés de financiación es del 2% mensual, encontrar el valor de la última cuota. R/. $ 74.669,6. 

37) Un producto se debe cancelar en 20 cuotas mensuales iguales vencidas de $ 30.000 y un interés de financiación del 1,8% mensual. Si quiero cambiar esta forma de pago por 20 pagos que tengan forma de gradiente aritmético típico, hallar el valor del primer pago, si este se realiza un mes después de recibida la mercancía. R/. primer pago: $ 3.027,83. 

38) Dentro de un año se debe cancelar $ 5.000.000 como cuota inicial de un apartamento; para tal fin se efectúan depósitos mensuales empezando hoy con un ahorro de $ 200.000. ¿Cuál debe ser el incremento constante en las cuotas posteriores si por los depósitos reconocen un interés del 1,4% mensual.? R/. $ 26.415,6. 

39) Una mercancía por valor de $ 1.000.000 y un interés de financiación del 2,5% mensual se debe cancelar con 36 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota sea $ 2.000 menos que la cuota anterior. Si una vez cancelada la cuota 26, solicito refinanciar el saldo para ser pagado durante el mismo tiempo pero con cuotas iguales, encontrar el valor de estas nuevas cuotas. R/. Cuotas nuevas: $ 11.598 y Primera cuota original: $ 72.191,04. 

40) Al comprar una máquina se quedaron debiendo $ 3.000.000 los cuales se deben cancelar al 2,7% mensual y 24 cuotas mensuales de tal manera que cada cuota sea $ 2.500 más que la cuota anterior. Si una vez cancelada la cuota 9 abono $ 400.000 y solicito refinanciar el saldo para cancelarlo durante el mismo tiempo pero con cuotas que decrezcan en $ 500 respecto de la cuota anterior, encontrar el valor de la cuota 9 que se cancela en la primera forma de pago, al igual que el valor de la primera cuota que se pagará después de solicitada la refinanciación. R/. $ Cuota 9: $ 165.886,78, Primera cuota refinanciación: $ 187.898,8. 

41) Un préstamo se debe cancelar con cuotas mensuales iguales dentro de cada semestre, pero semestre a semestre crecerán en $ 2.000. Si el interés de financiación es del 24% anual, y el plazo es de 3 años, encontrar el valor del préstamo, si la primera cuota cancelada tiene un valor de $ 40.000. R/. $ 1.166.640,8. 218 

42) Un préstamo se debe cancelar a 5 años y un interés de financiación del 36% nominal MA. Si las cuotas son quincenales e iguales dentro de cada semestre pero, semestre a semestre decrecen en $ 1.500, encontrar el valor de la primera cuota si el préstamo era de $ 3.000.000. R/. $ 59.466. 

43) Un préstamo de $ 8.000.000 al 48% nominal SA se debe cancelar en 4 años con cuotas mensuales iguales dentro de cada año, pero, año tras año crecen en $ 4.000, encontrar el valor de la última cuota. R/. $ 429.842,5. 

44) Se necesita reponer una máquina dentro de 5 meses y se estima que su precio en dicho momento será $ 17.213.648,4. Con tal fin se desea crear un fondo en una corporación que pagará un interés del 3% mensual. Hallar el valor del depósito que se debe efectuar dentro de un mes si los depósitos se incrementan en un 4% mensual, con respecto al depósito anterior. R/. $ 3.000.000.

 45) Si se deposita hoy $ 14.848.644,2 en una corporación que reconoce el 3% mensual durante cuantos meses podré hacer retiros de fin de mes de tal manera que cada retiro sea el 4% mayor que el retiro anterior, si se sabe que el valor del primero retiro es de $ 3.000.000. R/. n = 5 meses. 

46) Encontrar el valor de un préstamo a 3 años, con un interés de financiación del 3% mensual, si fue cancelado de la siguiente manera: la primera cuota de $ 60.000 se pagó un mes después de concedido el préstamo. Las demás cuotas durante el primer año aumentaron en el 8% mensual; la cuota 13 fue la cuota 12 disminuida en el 9%, y las demás siguieron disminuyendo en el mismo porcentaje hasta la cuota 24. La cuota 25 tiene el valor de la cuota 24 aumentada en el 3%. Las demás cuotas del tercer año también aumentaron en el 3%. R/. $ 1.761.542,6. 

47) Hallar el valor de un préstamo financiado al 2,8% mensual que se debe pagar con 24 cuotas, siendo de $ 300.000 la primera y las demás los 4/5 de la correspondiente cuota anterior. Halle también el valor de las cuotas canceladas en los meses 3 y 24. R/. $ 1.312.586,81 ; cuota 3: $ 192.000; cuota 24: $ 1.770,89. 

48) Una deuda se debe cancelar con 18 cuotas mensuales tales que cada cuota decrece en el 2,4% respecto de la cuota anterior. Si el interés de financiación es del 3,1% mensual y el valor de la primera cuota es de $ 400.000. a) Encuentre el valor del préstamo, b) Hallar el acumulado de lo que se ha pagado una vez cancelada la cuota 10, y c) Si al pagar la cuota 10 se solicita refinanciar el saldo existente en dicho momento para cancelarlo con 15 cuotas mensuales iguales un interés del 3,3% mensual determine el valor de las nuevas cuotas. R/. Préstamo: $ 4.561.674, Acumulado: $ 4.165.035, Saldo a refinanciar: $ 2.025.252,76 ; nuevas cuotas: $ 173.350,95. 

49) Al comprar una casa se quedan debiendo $ 15.000.000 los cuales se deben cancelar en 10 años con cuotas mensuales iguales dentro de cada año pero que año tras año se incrementan en el 3%. Si el interés de financiación es del 25% anual: a) encontrar el valor del primer pago, b) hallar el saldo una vez se cancele la cuota 78. R/. $ 367.923,46 y $ 11.835.260,5. 

50) Un préstamo para adquirir vivienda se debe cancelar en 7 años con cuotas mensuales iguales dentro de cada semestre pero semestre a semestre decrecen en el 2%. Si el interés de financiación es del 48% EA y el valor de la primera cuota es de $ 580.000, encontrar: a) Valor del préstamo, b) ¿cuánto se estará debiendo una vez cancelada la cuota 50?. R/. $ 15.213.469,57 y $ 9.544.420,23. 219 

51) Dentro de presupuesto de ingresos y egresos mensuales que el señor Arteaga tiene para el próximo año, espera ahorrar al final de cada trimestre $700.000 e incrementar periódicamente dicha suma en $300.000 ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año el señor Arteaga, si el banco le ofrece un interés del 4.5% trimestral? R/. $ 1.600.000.

 52) Usted necesita pedir un préstamo para la compra de un vehículo que vale 15 millones de pesos. Usted prevée que comprometiendo las primas que le pagan en la empresa, usted podría realizar pagos semestrales crecientes al 5% durante 5 años. Sus relaciones con la Corporación Financiera Finauto S.A. son tan buenas, que le conceden un semestre de gracia de capital e interés, y un interés del 14% semestral. Encuentre cuál deberá ser la primera y la última cuota del préstamo? R/. Cuota 1: $2.745.196 y Cuota 10: $ 4.258.700. 

53) Financiar $ 4.000.000 de hoy a tres años en cuotas mensuales que aumentan cada mes en la misma cantidad de dinero, sabiendo que la primera cuota, que será de $ 80.000, se pagará dentro de cuatro meses y que la tasa de interés sobre el saldo será del 3.3%mensual. Calcular cuál es el valor del gradiente? R/. G: $10.777.6 

54) Una empresa vende cada mes 500 unidades de su producto a un precio de $1.000 por unidad durante el primer año, a $1.200 por unidad durante el segundo año, a $1.400 por unidad durante el tercer año y así sucesivamente. La empresa ahorra la décima parte de su ingreso mensual en una corporación financiera que paga el 2.5% mensual. Hallar el valor total que la empresa tendrá ahorrado al cabo de siete años. R/. $19.186.475 

55) Hallar el valor de contado de un artículo que, financiado, puede adquirirse así: una cuota inicial equivalente al 30% del valor de contado y el resto a 15 meses con cuotas que aumenten cada mes en el 2%, sabiendo que la primera será de $ 23.000 y la tasa de interés será del 34% nominal mensual. R/. $ 453.137. 

56) Se va a financiar una deuda de $ 50.000.000 por medio de 36 cuotas mensuales anticipadas que crecen en $ 50.000 cada mes, y una cuota extraordinaria por valor de $ 3.000.000 en el mes 24. Si la tasa de interés es del 2,5% mensual, calcule el valor de la primera cuota. R/. $ 1.258.628,20. 

57) Un terreno que tiene un valor de $ 100.000.000 se financia a una tasa de interés del 34% MV, por medio del siguiente plan: cuota inicial igual al 20%, un pago por $ 5.000.000 en el mes 3, y una serie de 12 pagos que comienza en el mes 6, con un crecimiento mensual del 1,5%. Calcular el valor de la primera cuota de la serie de pagos. R/. $ 7.972.150,79. 

58) Una obligación de $ 34.000.000, con una tasa de interés del 34% MV, se va a cancelar con 24 pagos mensuales que aumentan cada mes en un 4%. Después de cancelada la tercera cuota se resuelve pagar el saldo con 12 pagos trimestrales que aumentan cada trimestre en $ 12.000. Calcular el valor del primer pago del nuevo plan de pagos. R/. $ 4.477.722.56. 

59) ¿Qué tasa de interés mensual debe reconocer un banco, donde se deposita inicialmente $ 2.000.000 y luego hace al final del primer mes un depósito de $ 150.000 que aumenta cada mes en $ 10.000, para que pueda comprar después de 3 años, un activo que hoy cuesta $ 18.000.000 y aumenta de valor en 1,56% mensual?. R/. 4,17% mensual. 

60) El 60% de un crédito se está pagando con 36 cuotas mensuales que crecen cada mes un 1,2%, comenzando con una cuota de $ 1.500.000. Una vez cancelada la cuota 12 se abonan $ 10.000.000 y el saldo se financia con 6 220 cuotas trimestrales de $ 5.000.000. Si la tasa de financiación es del 9,27% trimestral, ¿Cuál es el valor del crédito?. R/. $ 65.263.794,54.

Evaluación de inversiones

 CONCEPTOS DE EVALUACIÓN DE VALORES 

La inversión en valor (del inglés value investing) es una filosofía de inversión que deriva de las ideas que Benjamín  y David Dodd comenzaron a enseñar en Columbia Bussines School   en 1928 y que continuaron desarrollando en la edición de 1934 de su libro Security analysis 

La inversión en valor generalmente consiste en comprar valores a un precio bajo, determinado conforme a un análisis fundamental. Por ejemplo, dichos valores pueden ser acciones en compañías negociadas en mercados de valores que cotizan por debajo del valor contable, acciones que dan altos rendimientos en dividendos, acciones con un buen PER —la relación entre el precio o valor y los beneficios— o con un buen ratio P/VC

Los partidarios del value investing, incluyendo Warren Buffett, afirman que su esencia es comprar acciones a un precio menor al de su valor intrínseco.La diferencia resultante de descontar el precio de mercado del valor intrínseco de la acción, es lo que Graham llama «margen de seguridad». El valor intrínseco o fundamental se refiere al valor contenido en la propia acción y se calcula generalmente sumando el ingreso futuro generado por el activo de acuerdo con un criterio de valor presente, o en otras palabras, es el valor descontado de distribuciones futuras. Sin embargo, tanto las distribuciones futuras como el índice de descuento apropiado tan solo pueden estimarse o calcularse, pero no determinarse con exactitud.

Si el precio de mercado es inferior al valor intrínseco o fundamental de la acción, en teoría su precio se elevará en el futuro cuando el mercado se ajuste. El problema principal es estimar cuál debería ser el valor intrínseco del título o acción. Otro problema es predecir cuando el mercado va a reflejar el valor esperado.

Warren Buffett ha llevado el concepto de value investing más allá de su definición original, conforme su pensamiento ha evolucionado a lo largo de 25 años, de invertir en compañías genéricas a precio de ganga, a buscar «una compañía excepcional a un precio sensato». En España, algunas gestoras de fondos de inversión y planes de pensiones como Bestinver, llevan tiempo invirtiendo de acuerdo al value investing, que, según su filosofía, se basa en “adquirir buenos negocios a buenos precios”

HISTORIA DE LA INVERSIÓN DE VALORES 

Benjamin Graham 

El término value investing fue establecido por Benjamin Graham  y David Dodd, ambos profesores de Columbia Bussiness School. En su libro The Intelligent Investor, Graham se muestra partidario del concepto de «margen de seguridad» —mencionado por primera vez en Security Analysis, el libro que escribió junto con David Dodd— que requiere de un enfoque cauteloso al invertir. Al escoger valores para invertir, Graham recomienda un estilo defensivo, invirtiendo en valores que cotizan bajo su valor contable lo que de cierta manera constituye una salvaguardia contra acontecimientos adversos en el futuro, y que ocasionalmente ocurren en el mercado de valores.

Margen de seguridad

Es la diferencia entre el valor intrínseco de una acción y su precio de mercado. Para Graham «el margen de seguridad siempre depende del precio pagado».³​ Usando el margen de seguridad, uno debe comprar una acción cuando realmente vale más que su precio de mercado. Esta es la tesis central de la filosofía de value investing, que estipula la conservación del capital como primera regla de inversión. Graham sugiere analizar aquellas compañías que no son populares u olvidadas y que tengan una relación precio/beneficio o precio/valor contable baja. Hay que analizar los estados financieros y las notas al pie para ver si hay activos ocultos (inversiones en otras compañías, por ejemplo) que no estén siendo considerados por el mercado. El margen de seguridad protege al inversionista de malas decisiones y adversidades en el mercado. Toda vez que el valor justo es difícil de calcular con exactitud, el margen de seguridad otorga al inversionista cierto margen de error. Una interpretación común del margen de seguridad es que tan bajo es el valor intrínseco que uno paga por una acción: en el caso de emisiones de alta calidad un inversionista querrá pagar 90 centavos por dólar (90 % del valor intrínseco) mientras que acciones más especulativas serían adquiridas con un descuento del 50 % del valor intrínseco (50 centavos por dólar).

Evolución posterior del término

El concepto de valor, así como el de valor contable, ha evolucionado significativamente desde la década de 1970. El valor contable es útil tratándose de industrias donde todos —o casi todos— los activos son tangibles. Por el contrario, los activos intangibles tales como patentes, software, marcas o el buen nombre son difíciles de cuantificar. Por ejemplo, es probable que un activo intangible no sobreviviera la disolución de una compañía, en cuyo caso no solo el activo sino también su valor se vuelve intangible. De igual manera, cuando una industria está experimentando rápidos avances tecnológicos, el valor de sus activos no es fácil de calcular; ciertas innovaciones pueden afectar el valor del activo, a veces adversamente a veces favorablemente. Un buen ejemplo de la disminución de valor de un activo es una computadora personal. Un ejemplo de una industria donde el valor contable no tiene gran significado es el sector de servicios y ventas al minoreo. Un modelo moderno de calcular el valor de un activo es utilizando el modelo de flujos de fondod descontados  (DCF por su siglas en inglés): la suma del flujo de fondos futuros, descontado al presente.

El value investing ha evolucionado sobre todo hacia una tendencia que se basa en buscar empresas que dispongan de ventajas competitivas duraderas. En sus comienzos, Benjamin Graham le dio más importancia al margen de seguridad debido a los problemas financieros que se habían tenido durante la Gran Depresión. Sin embargo, en las últimas décadas los mejores inversores en valor han comentado en varias ocasiones que puede ser más interesante invertir en empresas de calidad y que tengan ventajas competitivas duraderas, en vez de en otras empresas que puedan estar a un precio más asequible pero que no dispongan de dichas ventajas y su negocio no sea de tanta calidad.

CONCEPTOS IMPORTANTES PARA INVERTIR

Definitivamente el precio no es igual al valor y constantemente existe una brecha enorme entre ambos.

El precio es el dinero que tienes que pagar para adquirir determinado producto, mientras que el valor es el dinero que ganarás de una utilidad por adquirir ese producto.

En el área bursátil, partimos del concepto de “valor instrínseco” el cual es el precio que teóricamente debe tener un activo financiero considerando sus fundamentales, es decir, todos los factores que afectan o afectarán al activo.

Este”valor intrínseco” puede diferir del precio del mercado ya que cada uno de los participantes del mercado tienen sus propias expectativas para el activo financiero, haciendo que para algunos pueda ser más o menos atractivo y encontrarse dispuesto a pagar determinado precio.

En el caso de la bolsa, al adquirir las acciones o cualquier producto financiero pagas un precio y se espera que al adquirirlos generen una utilidad conforme el precio se aproxime al valor intrínseco de la emisora, el cual dependerá de los flujos de efectivo que producirá en un futuro, a este rendimiento se le conoce retorno por convergencia.

Diferencias entre precio y valor

1. El precio depende de la oferta y la demanda, al variar la oferta o la demanda pueden modificar el precio de una acción  sin que esto suponga un cambio en su valor. En cambio el valor no depende de la oferta y la demanda.

2. El precio es cuantificable y en la bolsa, es un dato público, puedes saber de modo exacto el precio de una acción al buscar su cotización. En el caso del valor también es cuantificable pero cada persona podrá otorgar un valor diferente a una misma acción. Entonces, lo que para unos puede se arriesgado para otros no.

3. El precio suele ser muy volátil, puede variar bruscamente con base en los cambios de opinión del mercado. En cambio el valor es poco volátil.

Algunos consejos:

Ahora que ya sabes la definición de precio y valor, así como sus diferencias, ten en cuenta que antes de invertir debes conocer en qué empresas están invirtiendo  y determinar cuál es su valor.

Identifica la fortaleza financiera de la empresa, así como su posición competitiva, marcas y productos, capacidad de innovación y la calidad del capital humano y tecnológico.

Se racional y basa tus decisiones en las ineficiencias del mercado aprovechando las diferencias entre el precio y valor; compra acciones en el momento en el que consideres que el precio de una acción es bastante inferior a su valor, en su momento estas acciones podrán recuperar su precio.

Acércate a nuestros asesores de Grupo Financiero Monex para comenzar a invertir en la Bolsa.

Fuentes: El Financiero, Academia de inversión y libro “Padre rico, padre pobre”.

Video explicativo del TIR

Ejercicio 

La Sra. Pérez está analizando dos alternativas de inversión. La primera es invertir 32.000 € en un pequeño negocio, del que se espera obtener unos flujos de caja de 19.000 € el primer año y de 17.000 € el segundo año. La segunda es invertir la misma cantidad de dinero en unas Letras del Tesoro con vencimiento a dos años que dan una rentabilidad garantizada del 4% anual. En función de esta información, se pide:

a) Calcule la TIR de la primera alternativa (1 punto).
b) Indique razonadamente cuál de los dos proyectos recomendaría a la Sra. Pérez 

SOLUCIÓN EJERCICIO

a) Calcule la TIR de la primera alternativa (1 punto).

 La TIR (tasa interna de rentabilidad) nos indica cual debería ser la tasa de actualización que hace el VAN sea igual a 0. Es decir, la TIR tiene que ser mayor a la rentabilidad mínima por la que un proyecto nos sería rentable. A mayor TIR mayor rentabilidad. 

Teniendo en cuenta los datos que nos da el ejercicio;

Si multiplicamos por (1+TIR)² a todos los elementos de la ecuación nos queda que:

- 32.000 (1+TIR)² + 19.000 (1+TIR) + 17.000

Si suponemos que (1+TIR) es igual a X

- 32.000 x² + 19.000 x + 17.000

Por lo que nos queda una ecuación de segundo grado

Donde el primer elemento elevado al cuadrado es ”a” (-32.000) el segundo elevado a 1 es “b” (19.000) y el independiente es “c” (17.000).

El único resultado que tiene sentido en este caso es el positivo (no puede ser rentabilidad negativa para un proyecto)

Recuerda que dijimos que:

x = 1+TIR

TIR = 1,083885 - 1 = 0,083885 

Lo cual quiere decir que para el proyecto la TIR = 8,39% y por tanto esa es la tasa de rentabilidad que iguala el VAN a cero. Siempre que el valor “k” sea inferior a 8,39%, nuestro proyecto será rentable ya que en ese caso el VAN será positivo. 

b) Indique razonadamente cuál de los dos proyectos recomendaría a la Sra. Pérez 

La TIR de la primera opción es del 8,39% anual. Por tanto, se recomendaría la primera opción como mejor alternativa de inversión, ya que es superior al 4% anual de la segunda opción.

Ejercicio resuelto VAN y payback 2

Ordena de mejor a peor los siguientes proyectos de inversión a través del método del payback y del VAN. Consideramos un coste de capital (k) o tasa de actualización del 3%.

SOLUCIÓN EJERCICIO:

Pay-back o plazo de recuperación

Nos indica el tiempo que tardamos en recuperar la inversión inicial. En el gráfico indicamos arriba el desembolso inicial y los flujos de caja. Abajo, lo que queda pendiente de recuperar. El momento en el que recuperemos todo, será el plazo de recuperación.

Proyecto A: recupera su inversión inicial entre el año 1 y 2. En el año 1 recupera 700 y todavía le quedan 300 para llegar a los 1000 iniciales. En el año 2 recupera 500, con lo cual se pasa en 200. Por tanto, con una regla de 3 podemos saber en el momento exacto en donde recuperó la inversión.

Suponemos que los 500 euros del año se reciben a lo largo de los 12 meses, y queremos saber cuántos meses tardará en recuperar los 300 que le faltan.

El plazo de recuperación del proyecto A es 1 año, 7 meses y 6 días

Proyecto B: recupera su inversión inicial entre el año 2 y 3. En el año 1 recupera 800 y todavía le quedan 1200 para llegar a los 2000 iniciales. En el año 2 recupera 900 y todavía le quedan 300. En el año 3 recupera 500, con lo cual se pasa en 200. Por tanto, con una regla de 3 podemos saber en el momento exacto entre el año 2 y 3 recuperó la inversión.

Suponemos que los 500 euros del año se reciben a lo largo de los 12 meses, y queremos saber cuántos meses tardará en recuperar los 300 que le faltan.

El plazo de recuperación del proyecto B es 2 años, 7 meses y 6 días

Proyecto C: recupera su inversión inicial entre el año 2 y 3. En el año 1 no recupera nada y todavía le quedan 3000. En el año 2 recupera 2500 y todavía le quedan 500. En el año 3 recupera 900, con lo cual se pasa en 400. Por tanto, con una regla de 3 podemos saber en el momento exacto entre el año 2 y 3 recuperó la inversión.

Suponemos que los 900 euros del año se reciben a lo largo de los 12 meses, y queremos saber cuántos meses tardará en recuperar los 500 que le faltan.

El plazo de recuperación del proyecto C es 2 años, 6 meses y 20 días

CONCLUSIÓN: el pay-back nos indica el tiempo que se tarda en recuperar la inversión y lógicamente la empresa quiere recuperar si dinero lo antes posible, por lo que nos quedamos con el que tengan un plazo más bajo,

La prioridad a la hora de elegir proyectos sería A, C, B

Valor actualizado neto (VAN)

Consiste en actualizar todos los flujos netos de caja al momento actual. Es decir tenemos que calcular cuánto valdrían todos los flujos netos de caja (FNC) en el momento 0. Para ello utilizamos el método de la actualización que consisten en dividir cada FNC entre (1+k)ⁿ, donde la n minúscula nos indica la cantidad de años que tenemos que actualizar.

CONCLUSIÓN: el VAN indica cual es el valor de los FNC actualizados en el momento actual. Por ejemplo, el proyecto A genera unos flujos netos de caja de 150,91 euros, es decir al ser mayor que cero, es rentable. Por ello, siempre elegimos el VAN más alto.

La prioridad a la hora de elegir proyectos será C, B, A

El Valor Actualizado Neto consiste en actualizar todos los flujos netos de caja al momento actual. Es decir tenemos que calcular cuánto valdrían todos los flujos netos de caja (FNC) en el momento 0. Para ello utilizamos el método de la actualización que consisten en dividir cada FNC entre (1+k)ⁿ, donde la n minúscula nos indica la cantidad de años que tenemos que actualizar, y k es la tasa de actualización.

¿Cómo elegimos entre varios proyectos según el VAN?

- Si el valor del VAN es positivo (VAN > 0), el proyecto es rentable, ya que el valor de las entradas de dinero actualizadas al momento inicial es mayor a las salidas de dinero.

- Si el VAN es negativo (VAN < 0) el proyecto no será rentable ya que no recuperaremos el dinero invertido  y el proyecto  no debe llevarse a cabo.

- Si el VAN = 0, el valor de las entradas actualizadas será igual al valor de todas las salidas de dinero y el proyecto será indiferente

En caso de que solo se pueda realizar un proyecto de inversión elegiremos el que tengan un VAN más alto

Representación gráfica

Gráficamente, el VAN se puede representar. En el eje de ordenadas figura el VAN y en el eje de abscisas el valor k. Como vemos, a medida que la tasa de actualización k es mayor, el VAN va disminuyendo. Así, hay un valor k para el cual el VAN será cero. Ese punto será la TIR que veremos más adelante.

Ventajas e inconvenientes

Este método presenta las siguientes ventajas e inconvenientes.

Ventajas: tiene en cuenta el momento en el que se reciben los FNC.

inconvenientes: la principal es decidir cuál es la tasa de actualización k, ya que no hay un único tipo de interés al que invertir o pedir prestado. Como vemos en la gráfica esa decisión es muy importante, porque a medida que la k aumenta el VAN disminuye.

¿CÓMO CALCULAR EL VAN?

Otros ejemplos 

videos explicativos de inversión de valores